OZNACZENIA

 $A, B, \ldots$ - dowolne zbiory $A = \{x: \varphi(x)\}$

$\in$ - nalezy do zbioru

$\notin$ - nie nalezy do zbioru

$X, Y$ - przestrzenie metryczne, $x \in X$, $y \in Y$

$\subset$ , $\supset$ - inkluzja

$:=$ - rowne z defincji

$\{E_{\alpha}\}$ - rodzina zbiorów (zbiór zbiorów) $E_{\alpha} \subset S$
$\bigcup$ - suma zbiorów $\bigcup\limits_{ \alpha \in A}$ $E_{\alpha }$
$\bigcap$ - iloczyn zbiorów $\bigcap\limits_{ \alpha \in A} E_{\alpha }$
$A^C, -A$ - dopenienie zbioru $A$
$\bigvee\limits_{x \in X}$ - istnieje $x$ nalezace do $X$
$\bigwedge\limits_{x \in X}$ - dla kazdego x nalezacego do $X$ $f: A \rightarrow B$, funkcja zbioru $A$ w $B$
$f: X \rightarrow Y$, funkcja w przestrzeni metrycznej
$(y=f(x)):=\{y \in Y: y=f(x), x \in X\}$
$(y=f(X)) \equiv \bigvee _{x \in X } (y = f(x))$
$f^{-1}(x)$, funkcja odwrotna

N; $n \in N$, zbiór liczb naturalnych ( $i, j, k, l, n, m$)
Z; $l \in Z$, zbiór liczb cakowitych ($i, j, k, l$)
R; $x \in R$, zbiór liczb rzeczywistych ($x, y$)
C; $z \in C$, zbiór liczb zespolonych ($z = a+bi$)
Q; $p, q \in Q$, zbiór liczb wymiernych

$\alpha = \sup A$, supremum zbioru $A$
$\beta = \inf A$, infinium zbioru $A$

Oznaczenia logiczne:
$p, q, r$ - zdania logiczne
$\varphi (x), \psi (x), \chi (x)$ - funkcje zdaniowe
$\sim p$ - negacja x
$\vee$ - alternatywa
$\wedge$ - koniunkcja
$\Rightarrow$ - implikacja
$\Leftrightarrow$ - ekwiwalencja
$\equiv$ - równowaznosc
$w(p)$ - wartosc logiczna 0 lub 1 Rachunek zdan:

$p, q, r$, zdania logiczne (zmienne zdaniowe)
wartosci logiczne$: w(p) = 0$ (fasz), $1$ (prawda)

Funktory zdaniowe (nowe zdania lub funkcje zdaniowe)
$2^2 = 4$ jednoargumentowe $f:\{0,1\} \rightarrow \{0,1\}$, np. $\sim p$
$2^4=16$ dwuargumentowe $f: \{0,1\} \times \{0,1\} \rightarrow \{0,1\}$, np. $\vee$, $\wedge$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$

Wszystkie funktory 1- i 2-argumentowe mozna zdefiniowac za pomoca $\sim, \vee$;
ekskluzja, $\sim ( p \wedge q)$ i binegacja, $\sim (p \vee q)$,
wystarczaja do zdefiniowania tych funktorów.

Przykady funktorów:

$\sim p$, negacja zdania p
$\sim 1 = 0$, $\sim 0 = 1$, $w(\sim p )= \sim w(p)$
$\varphi (x)$, dowolna funkcja zdaniowa zmiennej $x$ w przestrzeni $X$
$\{ x\in X: \sim \varphi (x)\} = - \{x \in X: \varphi(x)\}$, negacja i dopenienie zbioru

$p \vee q$, alternatywa zdan $p, q$ (skadniki)
$1 \vee 1 = 1$, $1 \vee 0 = 1$, $0 \vee 1 = 1$, $0 \vee 0 = 0$
$\varphi(x), \psi (x)$ dowolne funkcje zdaniowe
$\{ x \in X: \varphi (X) \vee \psi (x)\} = \{x \in X : \varphi(x)\} \cup \{ x \in X: \psi (x)\}$

$p \wedge q$, koniunkcja zdan $p, q$ (czynniki)
$1 \wedge 1 =1$, $1 \wedge 0 = 0$, $0 \wedge 1=0$, $0 \wedge 0$
$\{x \in X: \varphi (x) \wedge \psi (x)\} = \{x \in X : \varphi (x)\}\cap\{x \in X: \psi (x)\}$

$p \Rightarrow q$, implikacja zdan (poprzednik i nastepnik)
$1 \Rightarrow 1 = 1$, $1 \Rightarrow 0 = 0$, $0 \Rightarrow 1 = 1$, $0 \Rightarrow 0 = 1$
$\{ x \in X: \varphi (X) \Rightarrow \psi (x)\} = -\{x \in X : \varphi(x)\} \cup \{ x \in X: \psi (x)\}$

$p \Leftrightarrow q$, ekwiwalencja zdan
$1 \Leftrightarrow 1 = 1$, $1 \Leftrightarrow 0 = 0$, $0 \Leftrightarrow 1 = 0$, $0 \Leftrightarrow 0 = 1$
$\{x \in X: \varphi (X) \Leftrightarrow \psi (x)\} =$
$[-\{x \in X: \varphi(x)\} \cup \{ x \in X: \psi (x)\}]~\cap~ [-\{x \in X: \psi (x)\} \cup \{ x \in X: \varphi(x)\}]$

Funktory jednoargumentowe

	p	0	1
$\sim(p ~\vee \sim p)$	$0_0$	0	0	$\sim \vdash$
$p$	$0_1$	0	1	$p$
$\sim p$	$0_2$	1	0	$\sim p$
$( p ~\vee \sim p)$	$0_3$	1	1	$\vdash$

Funktory dwuargumentowe

	p	$0$	$0$	$1$	$1$
	q	$0$	$1$	$0$	$1$
	$0_0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$\sim \vdash$		nigdy
$\sim (\sim p~\vee \sim q )$	$0_1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$p \wedge q$	koniunkcja	$p$ i $q$
$\sim (\sim p \vee q )$	$0_2$	$0$	$0$	$1$	$0$	$\sim (p \Rightarrow q)$	$p \wedge \sim q$	$p$ i nie $q$
$p$	$0_3$	$0$	$0$	$1$	$1$	$p$	$p$	$p$ chocby nawet $q$
$\sim (p \vee \sim q )$	$0_4$	$0$	$1$	$0$	$0$	$\sim (q \Rightarrow p)$	$\sim p \wedge q$	nie $p$ i $q$
$q$	$0_5$	$0$	$1$	$0$	$q$	$q$	$q$	$q$ chocby nawet $p$
$\sim (\sim p \vee q) \vee \sim(p \vee \sim q)$	$0_6$	0	1	1	0	$\sim (p \Leftrightarrow q)$	kontrawalencja	$p$ albo $q$
$p \vee q$	$0_7$	0	1	1	1	$p \vee q$	alterenatywa	$p$ lub $q$
$\sim (p \vee q)$	$0_8$	1	0	0	0	$\sim (p \vee q)$	binegacja	ani $p$ ani $q$
$\sim (p \vee q ) \vee \sim (\sim p \vee \sim q )$	$0_9$	1	0	0	1	$p \Leftrightarrow q$	ekwiwalencja	$p$ tylko wtedy gdy $q$
$\sim q$	$0_{10}$	1	0	1	0	$\sim q$	$\sim q$	tylko nie $q$ (co najwyzej $p$)
$p \vee \sim q$	$0_{11}$	1	0	1	1	$q \Rightarrow p$	implikacja odwrotna	jezeli $q$ to $p$
$\sim p$	$0_{12}$	1	1	0	0	$\sim p$	$\sim p$	tylko nie $p$ (co najwyzej $q$)
$\sim p \vee q$	$0_{13}$	1	1	0	1	$p \Rightarrow q$	implikacja	jezeli $p$ to $q$
$\sim p \vee \sim q$	$0_{14}$	1	1	1	0	$\sim ( p \wedge q)$	ekskluzja	nie $p$ i $q$
$(\sim p \vee q ) \vee (p \vee \sim q )$	$0_{15}$	1	1	1	1	$\vdash$	prawo	zawsze

PRAWA RACHUNKU ZDAN $(\vdash)$ TAUTOLOGIE
1. $\vdash~p \Leftrightarrow p$         prawo tozsamosci
2. $\vdash~p~\vee \sim p$         prawo wyaczonego srodka (tertium non datur)
3. $\vdash~\sim (p \wedge \sim p)$          prawo wyaczonej sprzecznosci
4. $\vdash~\sim \sim p \Leftrightarrow p$         prawo podwójnego zaprzeczenia
5. $\vdash~(p \Rightarrow \sim p) \Rightarrow \sim p$          prawo redukcji do absurdu (kryterium faszu)
6. $\vdash~(\sim p \Rightarrow p ) \Rightarrow p$      odwrotne do redukcji do absurdu (kryterium prawdy).
7. $\vdash ~q \Rightarrow ( p \Rightarrow q)$          p. symplifikacji (charakterystyka zdania prawdziwego)
8. $\vdash~\sim p \Rightarrow (p \Rightarrow q)$         prawo Scotusa (charakterystyka zdania faszywego)
Prawa de Morgana:
9. $\vdash~\sim (p \vee q ) \Leftrightarrow \sim p \wedge \sim q$         prawo negowania alternatywy (binegacja)
10. $\vdash~\sim (p \wedge q ) \Leftrightarrow \sim p \vee \sim q$         prawo negowania koniunkcji (ekskluzja)

• 
  (C)